问题

如图，相离$2$圆的$4$条公切线的$8$个切点共$1$条双曲线。 这是论坛的chyanog偶得，他在群里问这是不是一个显然的结论。 我没有仔细搜索文献，暂时不能确认这个是不是首创。不管怎么样，咱先叫它chyanog定理。

经过一个射影变换，可以把两圆换成两条一般二次曲线。 所以这个命题不属于欧氏几何，而属于射影几何。 根据对偶性，这个题目也等价于，如果两个二次曲线相交于四点，那么它们俩在这四点的8条切线会同时和一条二次曲线相切。

那么，让我们给它一个射影几何的证明。

一般射影证明

设两圆的对称矩阵表示为$A,B$，四条公切线的线坐标为$l_i(i=1,2,3,4)$，即

{l_i}^tA^{-1}l_i={l_i}^tB^{-1}l_i=0.

则8个切点的齐次坐标为 $A^{-1}l_i,B^{-1}l_i(i=1,2,3,4)$ 其中圆$A$上的4个切点$A^{-1}l_i(i=1,2,3,4)$还在一条二次曲线 $AB^{-1}A$ 上，因为

   (A^{-1}l_i)^t(AB^{-1}A)(A^{-1}l_i)={l_i}^tB^{-1}l_i=0

所以过这4个切点的二次曲线簇可以表示为 $α(AB^{-1}A)+βA$

同样，圆$B$上的4个切点$B^{-1}l_i(i=1,2,3,4)$还在一条二次曲线$BA^{-1}B$上， 所以过这4个切点的二次曲线簇可以表示为 $γB+δ(BA^{-1}B)$ 问题就是要证明这两个二次曲线簇有一条公共二次曲线，亦即四条二次曲线

   A，AB^{-1}A，B，BA^{-1}B

是线性相关的：存在不全为零的$α,β,γ,δ$，使得

   α(AB^{-1}A)+βA=γB+δ(BA^{-1}B)

上式两边同时右乘 $B^{-1}AB^{-1}$得

   α(AB^{-1}AB^{-1}AB^{-1})+β(AB^{-1}AB^{-1})=γ(AB^{-1})+δE

记 $AB^{-1}=X$, 代入上式得

αX^3+βX^2=γX+δE

也就是说，$X$需要满足一个1元3次矩阵方程。 mathe指出，$X$是满足自己的特征方程的，正是一个1元3次方程。

特殊射影证明

就是把一般图形射影到一个特殊位置，然后运用欧氏几何的方法来证明。 mathe认为，可以把两个二次曲线射影到同心同轴，使得8个切点成为与曲线同心同轴的两个矩形的顶点，如下图 ， 那么它们显然在一条二次曲线上。因为4个线束

A_1-(B_1,B_2,B_3,B_4)\\
A_2-(B_1,B_2,B_3,B_4)\\
A_3-(B_1,B_2,B_3,B_4)\\
A_4-(B_1,B_2,B_3,B_4)

显然是全等的。

应用

chyanog在得到上述八切点定理的过程中，还碰到过以下情况：圆外切四边形的相对顶点与4个切点共一条二次曲线。 如下图所示，相对顶点有两组（实际上有3组），一对与4切点共红色二次曲线，另一对与4切点共蓝色二次曲线。 这些不过是八切点图的退化情形，所以在八切点定理之后变得“显然”。 证明：相对两顶点可以视作一条退化的二次线素曲线（即二级曲线）$Г$，它与四边形内切圆的公切线就是四边形的四条边。$Г$上的4个切点重合为2点，即这对顶点。按上述命题，8个切点共一条二次曲线，即4个切点与两个相对顶点共一条二次曲线。