数学与计算机碰撞的地方

chyanog八切点定理

问题

如图,相离2圆的4条公切线的8个切点共1条双曲线。
2圆4公切线八切点共一双曲线
这是论坛的chyanog偶得,他在群里问这是不是一个显然的结论。
我没有仔细搜索文献,暂时不能确认这个是不是首创。不管怎么样,咱先叫它chyanog定理

经过一个射影变换,可以把两圆换成两条一般二次曲线。
一般二次曲线
所以这个命题不属于欧氏几何,而属于射影几何。
根据对偶性,这个题目也等价于,如果两个二次曲线相交于四点,那么它们俩在这四点的8条切线会同时和一条二次曲线相切。

那么,让我们给它一个射影几何的证明。

一般射影证明

设两圆的对称矩阵表示为A,B,四条公切线的线坐标为l_i(i=1,2,3,4),即

{l_i}^tA^{-1}l_i={l_i}^tB^{-1}l_i=0.

则8个切点的齐次坐标为 A^{-1}l_i,B^{-1}l_i(i=1,2,3,4)
其中圆A上的4个切点A^{-1}l_i(i=1,2,3,4)还在一条二次曲线 AB^{-1}A 上,因为

(A^{-1}l_i)^t(AB^{-1}A)(A^{-1}l_i)={l_i}^tB^{-1}l_i=0

所以过这4个切点的二次曲线簇可以表示为 α(AB^{-1}A)+βA

同样,圆B上的4个切点B^{-1}l_i(i=1,2,3,4)还在一条二次曲线BA^{-1}B上,
所以过这4个切点的二次曲线簇可以表示为 γB+δ(BA^{-1}B)
问题就是要证明这两个二次曲线簇有一条公共二次曲线,亦即四条二次曲线

A,AB^{-1}A,B,BA^{-1}B

是线性相关的:存在不全为零的α,β,γ,δ,使得

α(AB^{-1}A)+βA=γB+δ(BA^{-1}B)

上式两边同时右乘 B^{-1}AB^{-1}

α(AB^{-1}AB^{-1}AB^{-1})+β(AB^{-1}AB^{-1})=γ(AB^{-1})+δE

AB^{-1}=X, 代入上式得

αX^3+βX^2=γX+δE

也就是说,X需要满足一个1元3次矩阵方程。
mathe指出,X是满足自己的特征方程的,正是一个1元3次方程。

特殊射影证明

就是把一般图形射影到一个特殊位置,然后运用欧氏几何的方法来证明。
mathe认为,可以把两个二次曲线射影到同心同轴,使得8个切点成为与曲线同心同轴的两个矩形的顶点,如下图

那么它们显然在一条二次曲线上。因为4个线束

A_1-(B_1,B_2,B_3,B_4)\\
A_2-(B_1,B_2,B_3,B_4)\\
A_3-(B_1,B_2,B_3,B_4)\\
A_4-(B_1,B_2,B_3,B_4)

显然是全等的。

应用

chyanog在得到上述八切点定理的过程中,还碰到过以下情况:圆外切四边形的相对顶点与4个切点共一条二次曲线。
如下图所示,相对顶点有两组(实际上有3组),一对与4切点共红色二次曲线,另一对与4切点共蓝色二次曲线。

这些不过是八切点图的退化情形,所以在八切点定理之后变得“显然”。
证明:相对两顶点可以视作一条退化的二次线素曲线(即二级曲线)Г,它与四边形内切圆的公切线就是四边形的四条边。Г上的4个切点重合为2点,即这对顶点。按上述命题,8个切点共一条二次曲线,即4个切点与两个相对顶点共一条二次曲线。

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1 Comment

  1. hujunhua 2020-11-08 — Post Author

    应用中的命题“圆外切四边形的相对顶点与4个切点共一条二次曲线”可以用布列安桑定理来证明。但不如八切点定理直接。

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