chyanog八切点定理
November 04, 2020
问题
如图,相离圆的条公切线的个切点共条双曲线。
这是论坛的chyanog偶得,他在群里问这是不是一个显然的结论。
我没有仔细搜索文献,暂时不能确认这个是不是首创。不管怎么样,咱先叫它chyanog定理。
经过一个射影变换,可以把两圆换成两条一般二次曲线。
所以这个命题不属于欧氏几何,而属于射影几何。
根据对偶性,这个题目也等价于,如果两个二次曲线相交于四点,那么它们俩在这四点的8条切线会同时和一条二次曲线相切。
那么,让我们给它一个射影几何的证明。
一般射影证明
设两圆的对称矩阵表示为,四条公切线的线坐标为,即
{l_i}^tA^{-1}l_i={l_i}^tB^{-1}l_i=0.
则8个切点的齐次坐标为 其中圆上的4个切点还在一条二次曲线 上,因为
(A^{-1}l_i)^t(AB^{-1}A)(A^{-1}l_i)={l_i}^tB^{-1}l_i=0
所以过这4个切点的二次曲线簇可以表示为
同样,圆上的4个切点还在一条二次曲线上, 所以过这4个切点的二次曲线簇可以表示为 问题就是要证明这两个二次曲线簇有一条公共二次曲线,亦即四条二次曲线
A,AB^{-1}A,B,BA^{-1}B
是线性相关的:存在不全为零的,使得
α(AB^{-1}A)+βA=γB+δ(BA^{-1}B)
上式两边同时右乘 得
α(AB^{-1}AB^{-1}AB^{-1})+β(AB^{-1}AB^{-1})=γ(AB^{-1})+δE
记 , 代入上式得
αX^3+βX^2=γX+δE
也就是说,需要满足一个1元3次矩阵方程。 mathe指出,是满足自己的特征方程的,正是一个1元3次方程。
特殊射影证明
就是把一般图形射影到一个特殊位置,然后运用欧氏几何的方法来证明。
mathe认为,可以把两个二次曲线射影到同心同轴,使得8个切点成为与曲线同心同轴的两个矩形的顶点,如下图
,
那么它们显然在一条二次曲线上。因为4个线束
A_1-(B_1,B_2,B_3,B_4)\\
A_2-(B_1,B_2,B_3,B_4)\\
A_3-(B_1,B_2,B_3,B_4)\\
A_4-(B_1,B_2,B_3,B_4)
显然是全等的。
应用
chyanog在得到上述八切点定理的过程中,还碰到过以下情况:圆外切四边形的相对顶点与4个切点共一条二次曲线。
如下图所示,相对顶点有两组(实际上有3组),一对与4切点共红色二次曲线,另一对与4切点共蓝色二次曲线。
这些不过是八切点图的退化情形,所以在八切点定理之后变得“显然”。
证明:相对两顶点可以视作一条退化的二次线素曲线(即二级曲线),它与四边形内切圆的公切线就是四边形的四条边。上的4个切点重合为2点,即这对顶点。按上述命题,8个切点共一条二次曲线,即4个切点与两个相对顶点共一条二次曲线。