问题

如图，相离2圆的4条公切线的8个切点共1条双曲线。

这是论坛的chyanog偶得，他在群里问这是不是一个显然的结论。
我没有仔细搜索文献，暂时不能确认这个是不是首创。不管怎么样，咱先叫它chyanog定理。

经过一个射影变换，可以把两圆换成两条一般二次曲线。

所以这个命题不属于欧氏几何，而属于射影几何。
根据对偶性，这个题目也等价于，如果两个二次曲线相交于四点，那么它们俩在这四点的8条切线会同时和一条二次曲线相切。

那么，让我们给它一个射影几何的证明。

一般射影证明

设两圆的对称矩阵表示为A,B，四条公切线的线坐标为l_i(i=1,2,3,4)，即

则8个切点的齐次坐标为 A^{-1}l_i,B^{-1}l_i(i=1,2,3,4)
其中圆A上的4个切点A^{-1}l_i(i=1,2,3,4)还在一条二次曲线 AB^{-1}A 上，因为

所以过这4个切点的二次曲线簇可以表示为 α(AB^{-1}A)+βA

同样，圆B上的4个切点B^{-1}l_i(i=1,2,3,4)还在一条二次曲线BA^{-1}B上，
所以过这4个切点的二次曲线簇可以表示为 γB+δ(BA^{-1}B)
问题就是要证明这两个二次曲线簇有一条公共二次曲线，亦即四条二次曲线

是线性相关的：存在不全为零的α,β,γ,δ，使得

上式两边同时右乘 B^{-1}AB^{-1}得

记 AB^{-1}=X, 代入上式得

也就是说，X需要满足一个1元3次矩阵方程。
mathe指出，X是满足自己的特征方程的，正是一个1元3次方程。

特殊射影证明

就是把一般图形射影到一个特殊位置，然后运用欧氏几何的方法来证明。
mathe认为，可以把两个二次曲线射影到同心同轴，使得8个切点成为与曲线同心同轴的两个矩形的顶点，如下图
，
那么它们显然在一条二次曲线上。因为4个线束

显然是全等的。

应用

chyanog在得到上述八切点定理的过程中，还碰到过以下情况：圆外切四边形的相对顶点与4个切点共一条二次曲线。
如下图所示，相对顶点有两组（实际上有3组），一对与4切点共红色二次曲线，另一对与4切点共蓝色二次曲线。

这些不过是八切点图的退化情形，所以在八切点定理之后变得“显然”。
证明：相对两顶点可以视作一条退化的二次线素曲线（即二级曲线）Г，它与四边形内切圆的公切线就是四边形的四条边。Г上的4个切点重合为2点，即这对顶点。按上述命题，8个切点共一条二次曲线，即4个切点与两个相对顶点共一条二次曲线。