无题

参数方程

\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}&m_{13}\\m_{21}&m_{22}&m_{23}\\m_{31}&m_{32}&m_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{u_1}^2\\2u_1u_2\\{u_2}^2\end{pmatrix}=:Mu\tag{1}

可以改写为

\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=(u_1,u_2)T_{2×3×2}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}\tag{2}

中间这个张量 T2×3×2={tijk}2×3×2T_{2×3×2}=\lbrace t_{ijk}\rbrace_{2×3×2}MM的变形,不妨写作T2×3×2=f(M)T_{2×3×2}=f(M). (2)式可按爱因斯坦求和约定写作

x_j=t_{ijk}u_iu_k

比较系数可知

t_{i1k}=\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\m_{12}&m_{13}\end{pmatrix},t_{i2k}=\begin{pmatrix}m_{21}&m_{22}\\m_{22}&m_{23}\end{pmatrix},t_{i3k}=\begin{pmatrix}m_{31}&m_{32}\\m_{32}&m_{33}\end{pmatrix}

MM的一个射影变换M=CtMCM'=C^tMC,用爱因斯坦求和约定写作

m'_{i,j}=c_{i,k}m_{k,l}c_{l,j}

引导了对T2×3×2T_{2×3×2}的一个变换T2×3×2T2×3×2=f(M)T_{2×3×2}\to T’_{2×3×2}=f(M') 问题就是要证明存在一个D2×2D_{2×2}, 使得

T_{2×3×2}=D^tT'_{2×3×2}D
\begin{pmatrix}u'\\v'\end{pmatrix}=D\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=(u',v')T'_{2×3×2}\begin{pmatrix}u'\\v'\end{pmatrix}

让我们来推导这个变换D2×2D_{2×2}

t'_{i1k}=\begin{pmatrix}m'_{11}&m'_{12}\\m'_{12}&m'_{13}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_{1k}m_{kl}c_{l1}&c_{1k}m_{kl}c_{l2}\\c_{1k}m_{kl}c_{l2}&c_{1k}m_{kl}c_{l3}\end{pmatrix}\\---
\\t'_{i2k}=\begin{pmatrix}m'_{21}&m'_{22}\\m_{22}&m_{23}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_{2k}m_{kl}c_{l1}&c_{2k}m_{kl}c_{l2}\\c_{2k}m_{kl}c_{l2}&c_{2k}m_{kl}c_{l3}\end{pmatrix}\\---\\t'_{i3k}=\begin{pmatrix}m'_{31}&m'_{32}\\m'_{32}&m'_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_{3k}m_{kl}c_{l1}&c_{3k}m_{kl}c_{l2}\\c_{3k}m_{kl}c_{l2}&c_{3k}m_{kl}c_{l3}\end{pmatrix}\\---
\\t'_{ijk}=\begin{pmatrix}m'_{j1}&m'_{j2}\\m'_{j2}&m'_{j3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_{jk}m_{kl}c_{l1}&c_{jk}m_{kl}c_{l2}\\c_{jk}m_{kl}c_{l2}&c_{jk}m_{kl}c_{l3}\end{pmatrix}
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