liangbch的地砖

2008年7月liangbch提出一个铺地砖问题:
我们想要用正多边形的砖来铺地板,且须满足以下条件。
1.必须是采用正多边形的砖来铺,可以用一种正多边形,也可以采用几种正多边形。
采用一种正多边形的铺法(排列)方法三种,分别是 三角形,正方形,六边形。重点需要分析一下,采用多种多边形有几种排列方法。
2.每个顶点(多变形各个顶点的交叉点)上的多边形的排列必须相同。
3.采用相同的排列方式,地砖可无限扩展。反例,附件5-5-10 采用每个顶点包含 2个5边形和1个10边形,但是接着铺下去就不能满足条件了。

采用正三角形的铺法:
triangles
采用正四边形的铺法:
squares
采用正六边形的铺法:
hexigons
采用正八边形和正方形的铺法:
8-8-4
采用正五边形和正十形的铺法(错误的铺法):
5-5-10

更多讨论

liangbch提出
满足铺地板的一个必要条件是每个顶点的各个多边形的内角和是360°。下面列出法符合这个条件的一些铺法:

每个顶点3块砖
  1、6+6+6
  2、8+8+4(每个顶点包含2个八边形一个四边形,下同)
  3、10+10+5
每个顶点4块砖
  4、4+4+4+4
  5、3+4+4+6
每个顶点5块砖
  6、3+3+3+3+6
每个顶点6块砖
  7、3+3+3+3+3+3

大家可验证这几种排法,哪个能满足条件,哪个不能满足条件,是否还有其他排列方法。
gxqcn指出,再增加两个:

  8、4+6+12
  9、3+12+12

补充说明:
n边形的一个内角对圆周角的“贡献”值为:a_n = \frac{n-2}{2n}
我们只要解如下不定方程即可:\sum a_n \times x_n = 1 \quad ( x_n \in \overline{Z^{-}} )
其中x_n表示正n边形的选取数(可为零)。
也许这仅是满足要求的必要条件之一.
liangbch为gxqcn的方案配了对应的图
4+6+12:
4-6-12
3+12+12:
12-12-3
然后他编程找出更多的候选方案:
通过编程计算,多个多边形拼起来,其内角和等于360°的组合有:

三个角共点的有:
3+7+42
3+8+24
3+9+18
3+10+15
3+12+12
4+5+20
4+6+12
4+8+8
5+5+10
6+6+6

四个角共点的有:
3+3+4+12
3+3+6+6
3+4+4+6
4+4+4+4

五个角共点的有:
3+3+3+3+6
3+3+3+4+4

通过简单的画图法,可以排除一些组合,下面对三角共点的一些组合分析一下。
1、 如果同一个顶点的三个多边形中,有1个是奇数边,则另外两个多边形必须是 相同的偶数多边形。

  符合条件的是:3+12+12
  不符合条件被排除在外的是:
    3+7+42
    3+8+24
    3+9+18
    3+10+15
    4+5+20
    5+5+10

2、同一个顶点的三个多边形中全部是偶数边,且内角和为360°,则可以铺地板,如

    4+6+12
    4+8+8
    6+6+6

对于4个(5个)多边形共点的情况,同一个组合可以有多种排列。
如:(3,3,4,12),(3,4,3,12),(3,4,12,3)。
并且给出了更多的图案:
3-3-3-3-6:
3-3-3-3-6
3-4-6-4:
3-4-6-4
3-6-3-6:
3-6-3-6
3-3-6-6试图按(3,3,6,6)的顺序铺地板,结果导致了一些顶点(红圈标出)不再是(3,6,3,6)的顺序,是一种不符合条件的排法:
3-3-6-6
三个角共点的有:
3+12+12
4+6+12
4+8+8
6+6+6

四个角共点的有:
3+6+3+6
3+4+6+4
4+4+4+4

五个角共点的有:
3+3+3+3+6
3+3+3+4+4

六个角共点的有:
3+3+3+3+3+6
到此时,所以可按照规则铺地板的图形均以画出,共计10种,不知还能不能找到新的方案?

shshsh_0510认为非周期的会更加漂亮,给出了44333型非周期方案:
44333

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