复域内的幂函数等于指数函数

问题描述

求方程10^x=x^10的复数根有多少个?讨论见趣题:10^x=x^10

解答1

mathe很快给出解答:

根据儒歇定理,取f(x)=x10,f(x)+g(x)=x1010xf(x)=x^{10},f(x)+g(x)=x^{10}-{10}^x,于是在复平面中x<=2|x|<=2的区域里面f(x)=0f(x)=0只有10重根,所以在x<=2|x|<=2以内x1010x=0x^{10}-{10}^x=0也是10个根,1~3中的解和3#中解的共轭给出了所有这些结果。 而且容易看出2<x<102<|x|<10无解,但是对于x>=10|x|>=10,有无穷个解

由于过于抽象,大家反响不强烈,于是 lsr314 和wayne给出了复数解的图.

n=5;
ComplexPlot[10^x-x^10,{x,-n(1+I),n(1+I)},PlotPoints-&gt;400,Mesh-&gt;{Range[0,0],Range[0,0]},MeshFunctions-&gt;{Re[#2]&amp;,Im[#2]&amp;},MeshStyle-&gt;{Directive[Thickness[.005],Red],Directive[Dashed,Thickness[.005],Blue]},RegionFunction-&gt;Function[{z,f},Abs[f]&lt;=n],BoundaryStyle-&gt;None,MeshShading-&gt;{{LightGray,White},{White, LightGray}},Epilog-&gt;{Thickness[.0001],Dashed,Circle[]},Frame-&gt;False,Axes-&gt;True]

x<2|x|<2的情况下的根 cpg2

x>10|x|>10的情况下的根 cpg2

解答2

最后wayne经过一番折腾,给出了一种新的解答形式:

本题za=azz^a=a^z的解 即解方程组 rcosθlna=alnr,rsinθlna=aθ+2nπr \cos\theta \ln a = a\ln r , r \sin\theta \ln a=a\theta+2n\pi 消元,那么得到 通解形式是: z=aθ+2πnlna(cotθ+i),nZ,n0z = \frac{a \theta +2 \pi n }{\ln a}(\cot\theta+i), n\in Z, n \neq 0,其中 ln(aθ+2πnlnasinθ)=aθ+2πnatanθ\ln (\frac{a \theta +2 \pi n}{\ln a\sin\theta})=\frac{a \theta +2 \pi n}{a \tan \theta }

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