复域内的幂函数等于指数函数

问题描述

求方程10^x=x^10的复数根有多少个?讨论见趣题:10^x=x^10

解答1

mathe很快给出解答:

根据儒歇定理,取f(x)=x^{10},f(x)+g(x)=x^{10}-{10}^x,于是在复平面中|x|<=2的区域里面f(x)=0只有10重根,所以在|x|<=2以内x^{10}-{10}^x=0也是10个根,1~3中的解和3#中解的共轭给出了所有这些结果。
而且容易看出2<|x|<10无解,但是对于|x|>=10,有无穷个解

由于过于抽象,大家反响不强烈,于是 lsr314 和wayne给出了复数解的图.

n=5;
ComplexPlot[10^x-x^10,{x,-n(1+I),n(1+I)},PlotPoints->400,Mesh->{Range[0,0],Range[0,0]},MeshFunctions->{Re[#2]&,Im[#2]&},MeshStyle->{Directive[Thickness[.005],Red],Directive[Dashed,Thickness[.005],Blue]},RegionFunction->Function[{z,f},Abs[f]<=n],BoundaryStyle->None,MeshShading->{{LightGray,White},{White, LightGray}},Epilog->{Thickness[.0001],Dashed,Circle[]},Frame->False,Axes->True]

|x|<2的情况下的根
cpg2

|x|>10的情况下的根
cpg2

解答2

最后wayne经过一番折腾,给出了一种新的解答形式:

本题z^a=a^z的解 即解方程组 r \cos\theta \ln a = a\ln r , r \sin\theta \ln a=a\theta+2n\pi
消元,那么得到 通解形式是:
z = \frac{a \theta +2 \pi n }{\ln a}(\cot\theta+i), n\in Z, n \neq 0,其中 \ln (\frac{a \theta +2 \pi n}{\ln a\sin\theta})=\frac{a \theta +2 \pi n}{a \tan \theta }

天地不仁以万物为刍狗.
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