问题起源

2009年11月, KeyTo9_Fans提问:
把平面的第一象限分割成单位小方块,把坐标(整数部分)互质的点染成黑色,其余为白色。
其效果如下图所示。(一个像素点是一个单位小方块,共1024*1024个像素,原点在左上角)
cpg2

问题一(经典问题):

在$[1,n]\times 1,n$的范围内,黑色方块所占的比例是否有极限?如何求这个极限值?

问题二(自编问题):

考虑无限大的范围,能在里面找到大小为n*n的纯白色区域的n的最大值是多少?

问题三(自编问题):

设想整个平面是一块黑布,我们挖去了坐标(整数部分)不互质的部分,然后把这块布“拎”起来。
这样,与主体失去连接的一些黑色方块会自动脱落,留下空洞。(用画板里的填充工具把上图的(1,1)填充一下就会发现有些黑色方块并没有被填充)
问对角线旁边的方块(坐标为(x,x+1)或(x+1,x)的方块)是否全部与(1,1)相连?请证明或找反例。

问题一证明

northwolves回复认为第一个问题的答案是\frac6{\pi^2}, 并且说这个问题他以前在CSDN上讨论过.
KeyTo9_Fans提供了他的思路:
P(N)有一个准确的上界:
我们只取p_1,p_2,\dots,p_n
其中,(p_1p_2\dots p_n)^2\lt N
M=\sqrt{N},取下整。
T=p_1p_2\dots p_n
那么k关于素数p_1p_2、… 、p_n的余数在k=1到k=N之内至少完成了M个周期的变化。
在一个周期T里面,P(T)严格等于
\frac{p1^2-1}{p1^2}\frac{p2^2-1}{p2^2}\dots\frac{p_n^2-1}{p_n^2}
虽然至少完整地跑完了M个周期,但第(M+1)个周期并不完整。
(实际上可能不止M个完整的周期,但讨论的是上界,就放缩到\frac M{M+1}好了)
由于讨论的是上界,所以不完整的部分认为全满,一个空洞也没有。
squ
所以P(N)\le \frac{P(T)M^2+2M+1}{(M+1)^2} \le \frac{P(T)M^2+3M}{M^2+2M}=\frac{P(T)M+3}{M+2}.
所以随着N的增大,这个上界单调递减。
另一方面,P(N)有一个准确的下界:
不完整的部分被清得一个不剩。
sqv
所以P(N)\gt P(T)\frac{M^2}{(M+1)^2} – \dots \gt P(T)\frac{M^2}{(M^2+3M)} – \dots =\frac{P(T)M}{M+3}-\dots \gt P(T)-\frac3M-\dots
除此之外,还要考虑剩下的素数
p_(n+1)、p_(n+2)、……
的影响。
在N*N的范围内,素数p造成的空洞不多于\frac Np \times \frac Np个,所占比例不多于\frac 1{p^2}
我们假设剩下的素数造成的空洞与之前的素数完全不重叠。
所以P(N)大于
P(T) – \frac3M – \frac1{p’_1^2} – \frac1{p’_2^2} – \frac1{p’_3^2} – \dots
其中 p’_1表示p_{n+1}p’_2表示p_{n+2},……,依次类推。
S = \frac1{p’_1^2} + \frac1{p’_2^2} + \frac1{p’_3^2} + \dots
P(N)\gt P(T) – \frac3 M – S
综上:
P(T) – \frac 3M – S \lt P(N) \lt P(T) + \frac 1M
由极限的夹逼性,P(N)的极限与P(T)的极限相同, 由此在根据前面一些结论可以得出结果。

后来KeyTo9_Fans发现数学吧cqhm关于这个问题给了个很漂亮而且非常简单的证明:
R·查特在1904年发现,两个随意写出的数中,互素的概率为\frac6{\pi^2}
证明:考虑两个正整数最大公约数为n的概率,记为p(n)。
明显两个数最大公约数为n当且仅当它们从n的倍数中选取且它们除以n的商互素。
因此p(n)=\frac{p(1)}{n^2}.
而显然所有p(n)之和为1,因为两个数有唯一的最大公约数,故p(1)乘以所有正整数平方倒数和为1,而这个和为\frac{\pi^2}6,故p(1)=\frac6{\pi^2}.
mathe评论说如果一定要给这个证明鸡蛋挑骨头,那么就是没有证明概率的存在性。

问题二讨论

mathe说问题二中纯白色正方形区域可以任意大
取前n^2个素数排成n\times n方阵。
设方阵中每行n个数乘积为u_i,每列n个数乘积为v_i
那么所有的u_i之间互素,同样所有v_i之间互素。
根据中国剩余定理
x\equiv -(i-1) (mod u_i) ,1\le i\le n有解.
同样:
y\equiv -(i-1) (mod v_i), 1\le i\le n有解.
方阵[x,x+n-1]\times[y,y+n-1]满足条件.

问题三反例

问题三看上去很像是能够成立的样子,但是后来Fans在n=2189时找出了一个反例:
cpg3
上图是截至[2160,2223]*[2160,2223]区间中的互质点。
左上角坐标为(2160,2160),右下角坐标为(2223,2223)。
黑色方块表示不与(1,1)相连,红色方块表示与(1,1)相连,白色表示不互质。

问题二深入讨论计算

关于问题二,Fans又提出了一个最优解寻找问题:
对于n=2、n=3、n=4的情况,找对应的(x,y),使得整数对
(x,y),(x+1,y),…,(x+n-1,y)
(x,y+1),(x+1,y+1),…,(x+n-1,y+1)
…………
(x,y+n-1),(x+1,y+n-1),…,(x+n-1,y+n-1)
均不互质。
在满足上面的条件的前提下,(x+y)的值越小越好。
看看对于n=2、n=3、n=4的情况,找出来的整数对到底有多大。

northwolves快速给出n=2: (14,20)
n=3: (1274 ,1308)
mathe建议对于更大的n只搜索特殊模式的解:
如下的结构,其中?用互素而且不小于5的素数。
6 ? 2 3
? ? ? ?
2 ? 2 ?
3 ? ? 3
然后提供了一份C代码
并且找出n=4时可以有解x=726156780,y=68838054。
随后KeyTo9_Fans找出了一组更小的解: x=7247643,y=10199370
并且给出几组类似的不错的解:
cpgcd
并且发现已经有人捷足先登了.
Fans继续努力,程序经过通宵运行,找出n=5的解:
x=7759032126,y=247376414072

y y+1 y+2 y+3 y+4
x 2 3 2 41 2
x+1 137 37 103 7 11
x+2 2 19 2 29 2
x+3 23 3 109 31 3
x+4 2 47 2 5 2

x=14150396180,y=232889465522

y y+1 y+2 y+3 y+4
x 2 37 2 5 2
x+1 79 3 67 97 3
x+2 2 13 2 17 2
x+3 7 11 31 83 43
x+4 2 3 2 29 3

x=37945747188,y=131487690152

y y+1 y+2 y+3 y+4
x 2 3 2 73 2
x+1 7 41 277 151 109
x+2 2 89 2 5 2
x+3 31 3 83 19 3
x+4 2 17 2 409 2

其中最后一个结果最优秀并且被Fans提交到了A179594.