模幻方研究

O、引言

作为趣味数学的经典,幻方有着各种充满fans味道的名称、方法和结果。fans味道主要来源于“庸俗的推广”(美国数学家柯朗语)。从3阶幻方,推广到4阶,5阶,...,n阶, 仍然要求各行、列和两条对角线等和,就是普通幻方——这个推广的问题在于格数是n2n^2,而约束只有2n+12n+1,随着规模变大,自由度呈平方增长。是以阶数越高,约束就相对越弱,蕴含的数学越少,幻方的可观赏性越低,越显得平庸无趣。

如果解幻方仅限于试错法,那么幻方定义的约束确实越少越好,成功率越高嘛。对于试错法,约束是施于人的。但以代数学观点,约束是施于数的,约束越多,解空间维数越少,试错范围越小,达到目标越快。

所以,增加约束是提升幻方趣味,丰富幻方数学的必由之路。富兰克林幻方是这条路的开端,富兰克林幻方又称为“全对称幻方”,“泛对角线幻方”,“圆筒幻方”,“环面幻方”,“轮胎幻方”等等。虽然这些名称不怎么高大上,倒也反映这种幻方的主要特点,就是增加了“泛对角线”约束,好像幻方的对边粘连起来成了一个“环面”、“轮胎”。

六阶模幻方 4阶模幻方一例
图1 一个6阶模幻方的胎底 图2 一个4阶全对称幻方

这种“环面”或曰“轮胎”的数学表示就是模空间Zn2Z_n^2,因为是二维的,也叫模平面。所以本文把这种胎底的幻方叫做模幻方。

富兰克林幻方把对角线约束推广到了对角线方向的所有斜线,约束增加到了4n4n,比普通幻方翻了 1 倍,似乎很可观了,但比起 n2n^2还是差着 1 个指数级,何况算细账的话独立约束还不到4n4n。所以对于n>>4n>>4的规模比普通幻方也好不到哪去。要想真正使高阶幻方保持低阶幻方的组合之美,就必须在增约之路上走得更远、更彻底。

承载幻方的模平面Zn2Z_n^2上共有n(1+pi1)n\prod(1+p^{-1}_i)pip_i遍历 nn 的素因子)个包含nn个格子的方向。在这些方向中选择更多方向的斜线加以约束(让斜线上 nn 格之和等于幻和),当约束数量达到达到O(n)2O(n)^2时,幻方才能表现出低阶幻方那样的高对称度和组合之美,才存在低阶幻方那样漂亮的组合解法。

模幻方研究的主要任务就是两个:1、如何选择尽可多的约束方向来定义模幻方,使之表现出高度的对称性和美妙的组合;2、如何运用组合方法解出所定义的模幻方。对于素数阶模幻方,本文给出了完美的答案。对于合数阶模幻方,4阶为开端早已解决,我们近期解决了6阶,本文希望解决8阶和9阶,因为这两个数本身表现出很高的低阶对称性。

一、 模幻方的表示

图2是一个4阶全对称幻方,或者叫4阶泛对角线幻方等。通常只给出粗框内4×4正方形部分,图2为了表现对边的相邻关系,把对边复制到了一起, 具体说来,就是把右边复制到了左边之左,左2列复制到了右边之右,下边复制到了上边之上,上2行复制到了下边之下。这样一来,所谓“泛对角线”,如红色字体对角线{15,3,2,14}\lbrace15,3,2,14\rbrace和金黄底色对角线{15,8,2,8}\lbrace15,8,2,8\rbrace就显示完整了。

与普通nn阶幻方用一个矩阵{fi,j}n×n\lbrace f_{i,j}\rbrace_{n×n}的表示相比,这种环面幻方应该用

\lbrace f_{i,j}=f_{[i]_n,[j]_n}\rbrace_{∞×∞}

来表示. 这里[r]nr(modn)[r]_n\equiv r\pmod n. [r]n[r]_n可以当作一个数,亦可以看作一个同余集,即xr(modn)x\equiv r\pmod n的解集 。 这个表示包含了一个同态映射

\lbrace f_{i,j}\rbrace_{∞×∞}\to\lbrace f_{[i]_n,[j]_n}\rbrace_{n×n}

映射的左边,ff的定义域是无穷大离散平面Z2Z^2,右边则把它折卷成了Z2Z^2的一个商集Zn2Z^2_n。 在初等数论中,商集Zn2Z^2_n被称为有限模空间,模平面,又简称模。

因此,我们把这样幻方称为模幻方。

既然fi,j=f[i]n,[j]nf_{i,j}=f_{[i]_n,[j]_n},那么不妨把([i]n,[jn])([i]_n,[j_n])所代表的无穷多格视为等价格。

于是,Z2Z^2上的直线ax+by=cax+by=c等价于直线簇ax+byc(modn)ax+by\equiv c\pmod n. 显然,一个直线簇最多包含了nn个不等价的格。

定义1(模空间的直线和方向)足含nn个不等价格的直线簇ax+by0(modn)ax+by\equiv0\pmod n称为模空间Zn2Z_n^2的一个直线方向,简称方向。足含nn个不等价格的直线簇ax+byr(modn)ax+by\equiv r\pmod n称为模空间的在ax+by0(modn)ax+by\equiv0\pmod n方向的一条直线。

按定义,模平面在每个方向恰有 n 条不同的平行直线,每条直线上恰有 n 个不等价格,它们刚好是模平面上的全部 n^2 个不等价格。

定义2(模幻方)Z2Z^2至自然数前段{1,2,...,n2}\lbrace1, 2, ..., n^2\rbrace或者整数数组{a1,a2,,an2}\lbrace a_1,a_2,\cdots,a_{n^2} \rbrace 的一个映射 ff,具有周期性

 f_{i,j}=f_{[i]_n,[j]_n}

并使得Z2Z^2的若干方向满足“等和约束”。所谓一个方向满足“等和约束”,即平行于该方向的任一直线上的nn个不等价格之和为定值nAnA. 其中A=f(Zn2)n2A=\frac{\sum f(Z^2_n)}{n^2},称幻方均数。nAnA则称为幻和。 注:在不引起混淆的前提下,常用格代称格中的数。比如,若干格之和意指格中数之和。

满足“等和约束”的方向便称之为约束方向。

模空间上的方向和直线也可以用群论的语言等价定义。

定义1'(模空间的直线和方向)如果Zn2Z^2_n上的格 hh 的阶O(h)=nO(h)=n,那么由 hh 生成的 nn 阶循环子群(h)(h)称为Zn2Z^2_n的一个直线方向,简称方向。(h)(h)的任一陪集(h)+z(zZn2)(h)+z(z∈Z^2_n)称为(平行于)该方向的一条直线。 注1:(h)=Znh={0,h,2h,...,(n1)h}(h)=Z_n\cdot h=\lbrace0, h, 2h, ..., (n-1)h\rbrace. 注2:陪集(h)+z(h)+z在网格图上就是将方向(h)(h)(的格列)平移向量zz后所在的格列。

群论的语言提供了一种方向和直线的表示方法。

例1 Z22{Z_2}^2有3个方向: ((1,0)),((0,1)),((1,1))((1,0)),((0,1)),((1,1)), 即行、列和对角线。 Z22{Z_2}^2只有一个对角线方向,因为((1,1))((1,-1))((1,1))((1,1))是同一个方向。

**以后我们将方向((1,0))((1,0))简写为 方向1010,将方向((1,1))((1,-1))简写为方向11ˉ1\bar1(负号上顶)。这在n9n≤9时,不至引起混淆。我们的目标只打算解决至9阶模幻方。

例2 Z32{Z_3}^2有4个方向:10,01,11,11ˉ10,01,11,1\bar1, 即行、列和两个对角线方向。

二、模平面的方向计数定理

定理1(方向计数定理)模空间 Zn2Z^2_nn(1+pi1)n\prod(1+p^{-1}_i)个不同的方向。(pip_i遍历 n 的素因子).

这个计数定理的表达式与Eulor φ(n)函数极其相似,因此两者有相似的证明方法,在此从略。

例3 Z42{Z_4}^2有6个方向:10,11,12,11ˉ,01,2110,11,12,1\bar1,01,21, 即行、列、2个对角线方向,2个马步方向。

例4 Z52{Z_5}^2有6个方向:10,11,12,11ˉ,01,2110,11,12,1\bar1,01,21, 即行、列、2个对角线方向,2个马步方向。

三、4阶模幻方

按定义,4阶模幻方的有4个约束方向,为10,11,11ˉ,0110, 11, 1\bar1, 01

3.1 线性代数暴力求解

Mathematica小程序

F4X4=Array[Subscript[x,#1,#2]&,{4,4}];
Var16=F4X4//Flatten;
Row4=Total@F4X4;
Col4=Total/@F4X4;
DialL=Tr/@NestList[RotateRight,F4X4,3];
DialR=Tr/@NestList[RotateRight,Reverse@F4X4,3];
Eqn=(#==34)&/@Flatten[{Row4,Col4,DialL,DialR}];
Solve[Eqn,Var16]//Transpose//TableForm

输出:

图3 暴力解方程

Mathematica选择下标靠前的4个线性无关格做参元,生成了代数解。从中可见

  1. x11+x12+x21+x22=34x_{11}+x_{12}+x_{21}+x_{22}=34(图3第2行) 也就是任意2×22×2聚块之和等于34.
  2. x11+x33=x13+x31=17x_{11}+x_{33}=x_{13}+x_{31}=17(图3第5,7行) x11+x33x_{11}+x_{33}这样相对位置的两格我们称为对径格,和为17的两数称对偶数。上述关系式表明一对对偶数处于一对对径格中。
  3. x11+x21=x13+x23x_{11}+x_{21}=x_{13}+x_{23}(图3第3行)
  4. x12+x13=x21+x24x_{12}+x_{13}=x_{21}+x_{24}(图3第4行) 由3)、4)推移可得一种双连格等和链:如图4所示,各图内同色双连格之和相等。
图4 1×2砖块等和链

{x11+x21=x13+x23=x32+x42=x34+x44=:a(图4左上图黄色链)x31+x41=x33+x43=x12+x22=x14+x24=aˉ(图4左上图绿色链)}x_{11}+x_{21}=x_{13}+x_{23}=x_{32}+x_{42}=x_{34}+x_{44}=:a(图4左上图黄色链)\brace x_{31}+x_{41}=x_{33}+x_{43}=x_{12}+x_{22}=x_{14}+x_{24}=\bar a(图4左上图绿色链)

{x21+x31=x23+x33=x12+x42=x14+x44=:b(图4右上图绿色链)x11+x41=x13+x43=x22+x32=x24+x34=bˉ(图4右上图黄色链)}x_{21}+x_{31}=x_{23}+x_{33}=x_{12}+x_{42}=x_{14}+x_{44}=:b(图4右上图绿色链)\brace x_{11}+x_{41}=x_{13}+x_{43}=x_{22}+x_{32}=x_{24}+x_{34}=\bar b(图4右上图黄色链)

{x11+x12=x31+x32=x23+x24=x43+x44=:c(图4左下图黄色链)x13+x14=x33+x34=x21+x22=x41+x42=cˉ(图4左下图绿色链)}x_{11}+x_{12}=x_{31}+x_{32}=x_{23}+x_{24}=x_{43}+x_{44}=:c(图4左下图黄色链)\brace x_{13}+x_{14}=x_{33}+x_{34}=x_{21}+x_{22}=x_{41}+x_{42}=\bar c(图4左下图绿色链)

{x12+x13=x32+x33=x21+x24=x41+x44=:d(图4右下图绿色链)x11+x14=x31+x34=x22+x23=x42+x43=dˉ(图4右下图黄色链)}x_{12}+x_{13}=x_{32}+x_{33}=x_{21}+x_{24}=x_{41}+x_{44}=:d(图4右下图绿色链)\brace x_{11}+x_{14}=x_{31}+x_{34}=x_{22}+x_{23}=x_{42}+x_{43}=\bar d(图4右下图黄色链)

where aˉ=17a,bˉ=17b,cˉ=17c,dˉ=17d\bar a=17-a,\bar b=17-b,\bar c=17-c, \bar d=17-d

{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}的任意田字格,将其和写在中心十字点,16个田字和构成的4阶模幻方满足全约束,所以完达。 2、形如{((0,0),(2,0),(0,2),(2,2)} 的器字格,将其和写在中心格内,4个器字和构成的2阶模幻方满足全约束,所以完达。 3、形如{((0,0),(2,2)}两格称为一对对径格。 3、参数解刚好构成参数集{a,b,c,d}的幂集。

然而,如果认为这样选择约束方向具有代数上的优越性,剩下的2个方向12,2112,21与选定的4个约束方向在代数上有所特异,那就错了。从6个方向的相互之交(见下表)来看,没有哪个方向比其它方向更特别。两个方向之交用一个方向与另一个方向的4条直线的交点数量列表来表示。 只有2种相交情况:1---{1,1,1,1}, 2---{0,2,0,2}, 下表中就用这两种列表的序号代表了。

10 01 11 11ˉ1\bar1 21 12
10 0 1 1 1 1 2
01 1 0 1 1 2 1
11 1 1 0 2 1 1
11ˉ1\bar1 1 1 2 0 1 1
21 1 2 1 1 0 1
12 2 1 1 1 1 0

参考习惯选取方向{10,11,1,ˉ01}\lbrace10, 11, 1\bar, 01\rbrace的交点表,只要另作选取的4个方向与之有同样的交点表,就能得到在代数上同构的4阶模幻方。只不过,在几何直观上可能比较扭曲怪异而已。 相交为2型交点列表的方向是成对的,只要选取的4个方向中只有一对2型相交方向就行,共有12种选配方案。

四、5阶模幻方

Z52Z^2_5有6个方向,10,11,12,11ˉ,01,2110, 11, 12, 1\bar1, 01, 21. 一般选取10,11,11ˉ,0110, 11, 1\bar1, 01为约束方向,即行、列和两个对角线方向。

容易验证: 1、形如{(0,0),(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0}的十字格组,将格组之和写在中心格,25个格组和构成的5阶模幻方满足全约束,完达。 2、形如{(0,0),(0,2),(2,0),(0,-2),(-2,0}的间隔十字格组,将格组之和写在中心格,25个格组和构成的5阶模幻方满足全约束,完达。 3、形如{(0,0),(1,1),(1,-1),(-1,-1),(-1,1}的斜十字格组,将格组之和写在中心格,25个格组和构成的5阶模幻方满足全约束,完达。 4、形如{(0,0),(2,2),(2,-2),(-2,-2),(-2,2}的间隔斜十字格组,将格组之和写在中心格,25个格组和构成的5阶模幻方满足全约束,完达。

五、7阶模幻方

六、6阶模幻方

七、 蛋挞定理

约束方向的选取规则旨在使得幻方具有高度的对称性,比如使Zn2Z^2_n的某些其它子群满足“等和约束”,或者使所有同构(需要定义)的方向取相同的约束等。 子群 H 满足“等和约束”,即 H 的任一陪集H+z在映射 f 下的值域之和为定值O(H)AO(H)\cdot A. 模幻方编制的一个重要任务就是探究约束方向选取规则。 定义3(坍塌幻方与空幻方)如果f(Zn2)f(Z^2_n)只有nn个不同值,就称为坍塌幻方。如果f(Zn2)f(Z^2_n)中都是同一个数,就称为完全坍塌幻方,简称为空幻方,戏称完达山。 定理2(完达定理)如果在Zn2Z^2_n的所有方向都满足“等和约束”,那就完达。 完达定理是推导等价约束、构造参数解的重要基础,俺以前简单证明过,现在找不到那个证明了。老了,忘了,呜呜呜完达! 13 20 25 23 22 17 11 19 18 27 21 24 34 31 29 4 15 7 16 3 2 28 35 36 9 39 32 33 1 6 37 8 14 5 26 30

八、素数阶模幻方

九、8阶模幻方

十、9阶模幻方

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