无心人的三层派

2008年3月无心人提出挑战:
使用三个\pi,不得有其他数字,
加减乘除运算,乘方运算,平方根运算,取整运算,
能表示多少整数?

具体内容

风云剑询问是否可以无穷次开平方?mathe建议应该只能使用有限次,但是他认为应该可以表示出任意整数.
无心人觉得很奇怪,还能有比\pi^{\pi^{\pi}}更大的结果?
他给出了较小整数的三层派分解方案:
1=[\sqrt{\pi} + \sqrt{\pi} – \sqrt{\pi} ]
2=([\sqrt{\pi}] + [\sqrt{\pi}] \times [\sqrt{\pi}]
3=[\sqrt{\pi}] + [\sqrt{\pi}] + [\sqrt{\pi}]
4=[ (\sqrt{\pi} \times \sqrt{\pi})^{\sqrt[4]{\pi})}]
5=[\sqrt{\pi} + \sqrt{\pi} + \sqrt{\pi}]
6=[\pi + \pi] \times [\sqrt{\pi}]
7=[\pi + \pi] + [\sqrt{\pi}]
8=[\pi + \pi + \sqrt{\pi}]
9=[\pi + \pi + \pi]
10 = [ \pi \times \pi + [\sqrt{\pi}] ]
11 = [ \pi \times \pi + \sqrt{\pi} ]
12 = [ [ \pi \times \pi ] + [\pi] ]
13 = [ \pi \times \pi + \pi]
14 = [ [\pi] \times (\pi + \sqrt{\pi} ) ]
15 = [ \pi \times (\pi + \sqrt{\pi}) ]
16 = [ \pi \times \sqrt{\pi} \times [\pi] ]
17 = [ \pi \times \pi \times \sqrt{\pi} ]
18 = [ \pi ] \times [ \pi + \pi ]
19 = [ \pi \times ( \pi + \pi ) ]
20 = [ \frac{\pi ^ {\pi} }{ \sqrt{\pi}} ]
21 = [ ( \pi \times \pi ) ^ {\sqrt{\pi}} ] = [ \pi ] \times [ \pi ^ {\sqrt{\pi}} ]
22 = [ \pi ^ { \frac{\pi} {\sqrt{\sqrt{\sqrt{\pi}}} }} ]
23 = [ \pi \times \pi ^ {\sqrt{\pi}} ]
24 = [ ((\sqrt{\pi} ^ \pi ) ^ {\sqrt{\pi}} ]
25 = [ ( \pi + \pi ) ^ {\sqrt{\pi}} ]
26 = \left[ \pi ^ { \sqrt{\pi} + \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\pi}}}} }\right]
27 = [ \pi ] \times [ \pi ] \times [ \pi ]
28 = [ [ \pi ] \times [ \pi ] \times \pi ] = [ [ \pi \times \pi ] \times \pi ]
29 = [ [ \pi ] \times ( \pi \times \pi ) ]
30 =
31 = [ \pi \times \pi \times \pi ]
32 = \left[ \frac{\pi }{ \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{ \pi}}}}}\right)^{\pi}}\right]
33 = [ \pi ^{\pi} – \pi ]
34 = [ \pi ^{\pi} – \sqrt{\pi} ]
35 = [ \pi ^{\pi} ] – [ \sqrt{\pi} ]
36 = [ \pi ^{\pi} \times [ \sqrt{\pi} ]]
37 = [ \pi ^{\pi} ] + [ \sqrt{\pi} ]
38 = [ \pi ^{\pi} + \sqrt{\pi} ]
39 = [ \pi ^{\pi} + \pi ]
40 =
41 = \left[ \pi ^ { \pi \times \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\pi}}}}} }\right]
42 = [ \pi ^{\pi} \times \sqrt{\sqrt{\sqrt{\pi}}} ]
43 = \left[ [ \pi ] ^ { [ \pi ] \times \sqrt{\sqrt{\sqrt{[\pi]}}} } \right]
44 = [ [ \pi ] ^ { [ \pi ] \times \sqrt{\sqrt{\sqrt{\pi}}} } ]
45 = \left[ (\pi \times \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\pi}}}} ) ^{\pi}\right]
46 = [ \sqrt{[ \pi ]} ^ {[ [ \pi ] ^ {\sqrt{\pi}} ]} ]
47 = [ \sqrt{\pi} \times [ \pi ] ^ {[ \pi ]} ]
48 = [\sqrt{\sqrt{\pi}} \times \pi ^{\pi} ]
49 = \left[ [ \pi ] ^ { [ \pi ] ^ {\sqrt{\sqrt{\sqrt{\pi}}}} } \right]
50 = \left[ \pi ^ { \pi ^ {\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\pi}}}} }}\right]
51 =
52 =
53 = [ ( \sqrt{\pi} + \sqrt{\pi} ) ^{\pi} ]
54 =
55 = [\sqrt{\pi}^{[\pi]^{\sqrt{\pi}}}]
56 =
57 = [ \pi ^{\sqrt{\pi} + \sqrt{\pi} }]

northwolves补充了
40=[\pi\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\pi}^{\pi}}}}}]
30=[[\pi]^{[\pi]^{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\pi}}}}}}}]

mathe表示,定义 sqrt(n, x)表示x连续开n次根号, 那么
sqrt(u, pi)/(sqrt(v+d, pi)-sqrt(v,pi))
其中d是非常小的数,v远远大于u,可以表示很大范围的数
然后给出
找到了1到139的所有表示(不考虑计算误差)
我们采用一种简洁的记号
Pi表示
前缀S表示一次开根号,Sk表示连续k次开根号
前缀I表示一次取整,最外面还有一次取整没有标上,那么计算机搜索结果有:
1=ISPi/(SIPi-ISPi)
2=ISPi/(SIPi-S2IPi)
3=ISPi/(S2IPi-ISPi)
4=ISPi/(S2IPi-S4IPi)
5=ISPi/(S2IPi-S3IPi)
6=ISPi/(S3IPi-ISPi)
7=ISPi/(S3IPi-S8Pi)
8=ISPi/(S3IPi-S5IPi)
9=ISPi/(S3IPi-S5Pi)
10=S3IPi/(S3IPi-S5IPi)
11=S2IPi/(S3IPi-S5IPi)
12=ISPi/(S3Pi-S4IPi)
13=ISPi/(S4Pi-ISPi)
14=ISPi/(S4IPi-ISPi)
15=ISPi/(S4IPi-S8Pi)
16=ISPi/(S4IPi-S7IPi)
17=ISPi/(S4Pi-S6IPi)
18=ISPi/(S4IPi-S6IPi)
19=S7IPi/(S4IPi-S6Pi)
20=S4IPi/(S4IPi-S6Pi)
21=S3IPi/(S4IPi-S6IPi)
22=SIPi/(S3IPi-S4IPi)
23=S2IPi/(S4Pi-S6IPi)
24=ISPi/(SPi-SIPi)
25=ISPi/(S4Pi-S5IPi)
26=ISPi/(S4Pi-S5Pi)
27=ISPi/(S5Pi-ISPi)
28=ISPi/(S5IPi-ISPi)
29=ISPi/(S5IPi-S11IPi)
30=ISPi/(S5IPi-S9IPi)
31=ISPi/(S5Pi-S8IPi)
32=ISPi/(S5IPi-S8IPi)
33=S7IPi/(S5IPi-S8Pi)
34=S5Pi/(S5IPi-S8Pi)
35=ISPi/(S5Pi-S7IPi)
36=ISPi/(S5Pi-S7Pi)
37=S6IPi/(S5Pi-S7Pi)
38=ISPi/(S5IPi-S7IPi)
39=S6IPi/(S5IPi-S7Pi)
40=S4IPi/(S5IPi-S7IPi)
41=S4IPi/(S5IPi-S7Pi)
42=S3Pi/(S5Pi-S7Pi)
43=S3IPi/(S5IPi-S7IPi)
44=S3IPi/(S5IPi-S7Pi)
45=SIPi/(S4Pi-S5Pi)
46=SPi/(S4Pi-S5Pi)
47=S2IPi/(S5Pi-S7IPi)
48=S2Pi/(S5Pi-S7Pi)
49=SIPi/(S5IPi-ISPi)
50=S2IPi/(S5IPi-S7IPi)
51=S2Pi/(S5IPi-S7Pi)
52=ISPi/(S5Pi-S6IPi)
53=S6IPi/(S5Pi-S6IPi)
54=ISPi/(S5Pi-S6Pi)
55=ISPi/(S6Pi-ISPi)
56=ISPi/(S6Pi-S12IPi)
57=ISPi/(S6IPi-ISPi)
58=ISPi/(S6IPi-S13IPi)
59=ISPi/(S6IPi-S11IPi)
60=S7IPi/(S6IPi-S11IPi)
61=ISPi/(S6IPi-S10IPi)
62=ISPi/(S6Pi-S9IPi)
63=ISPi/(S6Pi-S9Pi)
64=S6IPi/(S6Pi-S9Pi)
65=ISPi/(S6IPi-S9IPi)
66=ISPi/(S6IPi-S9Pi)
67=S6IPi/(S6IPi-S9IPi)
68=S5IPi/(S6IPi-S9IPi)
69=S2Pi/(S5Pi-S6IPi)
70=S4IPi/(S6IPi-S9IPi)
71=S4IPi/(S6IPi-S9Pi)
72=ISPi/(S6Pi-S8IPi)
73=ISPi/(S6Pi-S8Pi)
74=S8IPi/(S6Pi-S8Pi)
75=S6Pi/(S6Pi-S8Pi)
76=ISPi/(S6IPi-S8IPi)
77=ISPi/(S6IPi-S8Pi)
78=S10IPi/(S6IPi-S8Pi)
79=S6IPi/(S6IPi-S8Pi)
80=S5IPi/(S6IPi-S8Pi)
81=S2IPi/(S6IPi-S10IPi)
82=S4IPi/(S6IPi-S8IPi)
83=S4IPi/(S6IPi-S8Pi)
84=S3IPi/(S6Pi-S8Pi)
85=S3Pi/(S6Pi-S8Pi)
86=S2IPi/(S6IPi-S9IPi)
87=S2IPi/(S6IPi-S9Pi)
88=S3IPi/(S6IPi-S8IPi)
89=S3IPi/(S6IPi-S8Pi)
90=SIPi/(S5Pi-S6IPi)
91=IPi/(S5IPi-S9IPi)
92=SPi/(S5Pi-S6IPi)
93=IPi/(S5Pi-S8IPi)
94=SIPi/(S5Pi-S6Pi)
95=S2IPi/(S6Pi-S8IPi)
96=S2Pi/(S6Pi-S8IPi)
97=S2IPi/(S6Pi-S8Pi)
98=S2Pi/(S6Pi-S8Pi)
99=SIPi/(S6Pi-S11Pi)
100=SIPi/(S6IPi-ISPi)
101=S2IPi/(S6IPi-S8IPi)
102=S2IPi/(S6IPi-S8Pi)
103=S2Pi/(S6IPi-S8Pi)
104=SPi/(S6IPi-S12Pi)
105=SPi/(S6IPi-S11IPi)
106=ISPi/(S6Pi-S7IPi)
107=S7Pi/(S6Pi-S7IPi)
108=SIPi/(S6Pi-S9IPi)
109=S5IPi/(S6Pi-S7IPi)
110=ISPi/(S6Pi-S7Pi)
111=ISPi/(S7Pi-ISPi)
112=ISPi/(S7Pi-S14IPi)
113=ISPi/(S7Pi-S13IPi)
114=ISPi/(S7Pi-S12IPi)
115=ISPi/(S6IPi-S7IPi)
116=ISPi/(S7IPi-ISPi)
117=ISPi/(S7IPi-S13IPi)
118=ISPi/(S7Pi-S11IPi)
119=ISPi/(S7IPi-S12IPi)
120=ISPi/(S6IPi-S7Pi)
121=S7IPi/(S6IPi-S7Pi)
122=S6IPi/(S6IPi-S7Pi)
123=ISPi/(S7IPi-S11IPi)
124=ISPi/(S7IPi-S11Pi)
125=S7IPi/(S7IPi-S11Pi)
126=ISPi/(S7Pi-S10IPi)
127=ISPi/(S7Pi-S10Pi)
128=S7IPi/(S7Pi-S10Pi)
129=S6IPi/(S7Pi-S10Pi)
130=S5IPi/(S7Pi-S10IPi)
131=S5IPi/(S7Pi-S10Pi)
132=ISPi/(S7IPi-S10IPi)
133=ISPi/(S7IPi-S10Pi)
134=S7IPi/(S7IPi-S10Pi)
135=S6IPi/(S7IPi-S10Pi)
136=S4IPi/(S7Pi-S10Pi)
137=S5IPi/(S7IPi-S10IPi)
138=S5Pi/(S7IPi-S10Pi)
139=S2IPi/(S6Pi-S7IPi)
141=S4IPi/(S7IPi-S10IPi)
搜索了很大范围,都不能找到140,144,190这三个数(在较小范围前面的数都能够找到)
看来140的确是不能用这种方法表示的了。
而我前面所谓稠密判断也肯定有问题了。
但是当然这个并不说明140不能表示出来,只要我们找到更加大的整数140^2到141^2之间的数,开平方后还是能够表示出来的。
比如
19625=S2IPi/(S13IPi-S14IPi)
再次开平方取整可以得到140
20870=S5IPi/(S14IPi-S16Pi)
再次开平方取整可以得到144
36211=S2IPi/(S14Pi-S15IPi)
再次开平方取整可以得到190
所以通过这种方法至少200以内都已经可以表示了。
后面mathe表示他还用计算机搜索到1到300万以内范围的结果,只是给出的附件已经无法下载了。
gxqcn表示,如果还允许对数、阶乘、取负运算,三个\pi可以表示任意正整数:
  n = -\log_{[\sqrt{[\pi]!}]}{\log_{\pi}{\sqrt{\sqrt{…\sqrt{\pi}}}}}(n 重根号)
因为,[\sqrt{[\pi]!}] = [\sqrt{3!}] = [\sqrt6] = 2
\log_{\pi}{\sqrt{\sqrt{\dots\sqrt{\pi}}}}(n 重根号)
\quad = \log_{\pi}{\pi^{2^{-n}}} = 2^{-n}

gxqcn还给出了一个用3个9表示所有数字的钟.
clock
只是里面的数字1不清楚,qxqcn认为可以使用(\frac99)^9.

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