激情碰撞中的圆周率

在理想模型下(没有任何阻力,弹性碰撞),将一个静止小方块放在在墙壁和大方块之间, 让大方块以一定的初始速度撞向小方块,那么小方块总共会碰撞几次呢?

简单计算可以知道,当大方块质量为小方块一倍时,经过第一次碰撞加速后,小方块会在和墙壁来一次亲密接触后反弹并再次和大方块发生一次碰撞,所以小方块一共碰撞了3次。

那么当大方块质量为小方块的100时呢?这时由于质量的巨大差别,小方块需要在墙壁和大方块之间 往返多次才能大方块掉头远离。经过逐步计算可以知道这次小方块需要碰撞31次。

那如果质量比变为10000倍呢?计算得知,倍感压力的小方块现在需要碰撞314次了。

...

发现规律了?

没错,神奇的π\pi强势出现在此碰撞试验中。

查看视频可以有详细解答。



这里提供一个计算方法: 根据动量守恒,能量守恒,不难得到:
12m1v12+12m2v22=12m1v12+12m2v22,m1v1+m2v2=m1v1+m2v2\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1v_1'^2+\frac{1}{2}m_2v_2'^2, m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'

然后相减,相除相消可以得到v1+v1=v2+v2v_1+v_1'=v_2+v_2',代入继而得到
v1=v1(m1m2)+2m2v2m1+m2,v2=v2(m2m1)+2m1v1m1+m2v_1'=\frac{v_1(m_1-m_2)+2m_2v_2}{m_1+m_2},v_2'=\frac{v_2(m_2-m_1)+2m_1v_1}{m_1+m_2}
观察发现这是一次线性表达, 为了方便计算的迭代,我们总要转换成矩阵表达
A=(m1m2m1+m22m2m1+m22m1m1+m2m2m1m1+m2),(v1v2)=A(v1v2)A=( \begin{array}{cc} \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} & \frac{2 m_2}{m_1+m_2} \\ \frac{2 m_1}{m_1+m_2} & \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2} \\ \end{array} ), ( \begin{array}{c} v_1' \\ v_2' \\ \end{array} )=A ( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \end{array} )
小方块碰撞墙壁后速度大小不变,方向取反,也就是上面的矩阵第一行整体取相反数.同时为了尽可能简化这个矩阵,我们设m2=cot2(θ)m1m_2=\cot ^2(\theta )m_1,代入化简得到:

B=(1001)A=(cos(2θ)2cos2(θ)2sin2(θ)cos(2θ))B = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\cdot A= \left( \begin{array}{cc} \cos (2 \theta ) & -2 \cos ^2(\theta ) \\ 2 \sin ^2(\theta ) & \cos (2 \theta ) \\ \end{array} \right)

n轮碰撞[方块之间的碰撞+墙壁反弹]之后,

Bn=(cos(2nθ)cot(θ)sin(2nθ)tan(θ)sin(2nθ)cos(2nθ))B^n = \left( \begin{array}{cc} \cos (2n\theta) & -\cot (\theta)\sin(2n\theta) \\ \tan(\theta) \sin(2n\theta) & \cos(2n\theta) \\ \end{array} \right)

也就是

(v1Finalv2Final)=Bn(v1initialv2initial)=Bn(01)( \begin{array}{c} v_1^{Final} \\ v_2^{Final} \\ \end{array} )=B^n ( \begin{array}{c} v_1^{initial} \\ v_2^{initial} \\ \end{array} )=B^n ( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ \end{array} )

化简得到v2Finalv1Final=csc(θ)sin(θ+2nθ)>0v_2^{Final}-v_1^{Final} = -\csc(\theta)\sin(\theta +2n\theta) >0, 继而得到碰撞次数N=2n+1,πθ<N<2πθN = 2n+1, \frac{\pi}{\theta}<N<\frac{2\pi}{\theta}[取首次速度反转的结果], 当θ\theta接近于0时,θtan(θ)\theta\approx \tan(\theta) ,所以 NθπN \theta \approx \pi , 得证.

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