世界拥抱日

1月21日是世界拥抱日,那么一个圆和三角形紧紧拥抱在一起会有什么结果呢?

数学研发论坛的KeyTo9\_Fans曾经在上海东华大学ACM邀请赛给出下面的题目: 给定一个三角形的三边,和一个圆的半径。两个图形放在平面上,可以移动,求最大公共面积!

hujunhua为这个题目配上如下图片并且从力学角度对题目进行分析: circle_and_triangle

wayne记三角形三边长分别为a,b,c,圆的半径为r,并且设圆心到三边距离分别为x,y,z,得出圆和三角形相交情况的数学形式为: 已知a,b,c,r,x,y,z为正数,其中a,b,c,r,S为定值并且满足约束条件ax+by+cz=2Sax+by+cz=2S, 求arccosfracxrsqrt1(fracxr)2fracxr+arccosfracyrsqrt1(fracyr)2fracyr+arccosfraczrsqrt1(fraczr)2fraczr\\arccos\\frac{x}{r}-\\sqrt{1-(\\frac{x}{r})^2}\\frac{x}{r}+\\arccos\\frac{y}{r}-\\sqrt{1-(\\frac{y}{r})^2}\\frac{y}{r}+\\arccos\\frac{z}{r}-\\sqrt{1-(\\frac{z}{r})^2}\\frac{z}{r}记图中阴影部分面积的最小值。

mathe指出取极值情况很简单,同三边相交的弦长要同对应边长度成正比,即fracasqrtr2x2=fracbsqrtr2y2=fraccsqrtr2z2\\frac a{\\sqrt{r^2-x^2}}=\\frac b{\\sqrt{r^2-y^2}} =\\frac c{\\sqrt{r^2-z^2}}.\r\n而原因在于如果记f(x)=arccos(x)xsqrt1x2f(x)=\\arccos(x)-x\\sqrt{1-x^2}, 那么f\'(x)=-2\\sqrt{1-x^2}, wayne的结果表明我们需要在线性约束条件ax+by+cz=2Sax+by+cz=2S的条件下就f(fracxr)+f(fracyr)+f(fraczr)f(\\frac xr)+f(\\frac yr)+f(\\frac zr)的最小值。使用拉格朗日二乘法可以知道极值在\\frac{f\'(\\frac xr)}a=\\frac{f\'(\\frac yr)}b=\\frac{f\'(\\frac zr)}c时取到。

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